shkolakz.ru 1


ӘӨЖ 512.552.22:519.237:519.716.32 Қолжазба құқығында


НУРТАЗИНА САЛТАНАТ ЖУМАЕВНА


Көп өлшемді шектеулі – айырымдық кері есепті шешудің

оптимизациялау әдісі


6М060100 - Математика мамандығы бойынша жаратылыстану ғылымдарының магистрі академиялық дәрежесін алу үшін дайындалған диссертацияның


РЕФЕРАТЫ


Қызылорда, 2012

Жұмыс Қорқыт Ата атындағы Қызылорда мемлекеттік университетінің «Математика және математиканы оқыту әдістемесі» кафедрасында орындалды.


Ғылыми жетекшісі: физика-математика ғылымдарының

докторы, профессор Ғ.Б.Баканов


Ресми оппонент: әл-Фараби атындағы Қазақ Ұлттық уни- верситетінің «Дифференциалдық тең-деулер және басқару теориясы» кафедрасының меңгерушісі, физика-математика ғылымдарының докторы, профессор С.Т. Мухамбетжанов


Диссертация 2012 жылы «___»__________сағат___ Қорқыт Ата атындағы Қызылорда мемлекеттік университетінде қорғалады (120014, Қызылорда қаласы, Ы.Жахаев көшесі, 6 оқу ғимараты, Физика-математика факультеті, №215 дәрісхана)


Диссертациямен Қорқыт Ата атындағы Қызылорда мемлекеттік университетінің ғылыми-техникалық кітапханасында танысуға болады.

Кіріспе


Зерттеу тақырыбының өзектілігі.

Жұмыста гиперболалық теңдеу үшін қойылған көп өлшемді шектеулі – айырымдық кері есепті шешудің оптимизациялау әдісі қарастырылады.

Дифференциал теңдеулер мен математикалық физика теңдеулері теориясында жәй және дербес туындылы дифференциал теңдеулер үшін тура және кері есептер қарастырылады. Дифференциал теңдеу үшін қойылған тура есепте алдын ала берілген (алғашқы және шекаралық) шарттар бойынша дифференциал теңдеудің жалғыз орнықты шешімі ізделінеді.

Дифференциал теңдеу үшін қойылған кері есеп деп келесі типтегі есепті айтады. Дифференциал теңдеулер класы және осы класқа жататын бір дифференциал теңдеу үшін қойылған тура есептің шешімі немесе шешімдері жөнінде информация берілсін. Сол белгілі информация бойынша берілген кластан дифференциал теңдеуді тауып алу керек. Дифференциал теңдеулер класы саны шекті параметрлердің немесе функциялардың жиыны арқылы беріледі. Сызықтық дифференциал теңдеулер үшін белгісіз функциялар ретінде осы теңдеулердің коэффициенттері немесе оң жақтары қарастырылады. Сондықтан дифференциал теңдеу үшін қойылған кері есепте дифференциал теңдеуді анықтайтын функциялар жиынын табу керек. Ал, дербес жағдайда, сызықтық дифференциал теңдеу үшін қойылған кері есепте теңдеудің барлық немесе кейбір коэффициенттері, не теңдеудің оң жағы ізделінеді.


Дифференциал теңдеулер үшін қойылған кері есептер көбіне Адамар бойынша корректілі болмайды.

Классикалық мағынада корректілі болмайтын есептердің теориясын А.Н.Тихонов, М.М.Лаврентьев және В.К.Иванов жасады. Корректілі емес есептерді шешудің әртүрлі әдістері В.Я.Арсениннің, В.Г.Васильевтің, С.П.Шишатскийдің, В.В.Васиннің, В.П.Танананың, В.Г.Романовтың, Ю.Е.Аниконовтың, А.Л.Бухгеймнің, С.Елубаевтың, Е.Ы. Бидайбековтің, А.С.Алексеевтің, А.С.Благовещенскийдің, С.А.Атанбаевтың, С.П.Белинскийдің, А.М.Денисовтың, С.И.Кабанихиннің, А.И.Прилепконың, С.И.Темирбулатовтың, В.Г.Яхноның, С.Ж.Азаматовтың, Т.Б. Ділмановтың, Ғ.Б.Бакановтың жұмыстарында зерттелген.

Бұл диссертациялық жұмыста көп өлшемді шектеулі – айырымдық кері есепті шешудің оптимизациялық әдісі қарастырылады.

Оптимизациялау әдісін кері және корректілі емес есептерде қолдану идеясы А.Н.Тихоновтың, Г.И.Марчуктың, А.С.Алексеевтің жұмыстарынан бастау алады.

Бұл диссертациялық жұмыста қарастырылған кері есептің практикалық қолданыста (акустикада, электродинамикада, геофизикада) маңызы өте зор болып есептеледі.

Сондықтан көп өлшемді шектеулі – айырымдық кері есепті шешудің оптимизациялау әдісін зерттеу өзекті мәселе болып табылады.

Зерттеудің мақсаты – шектеулі –айырымдық кері есепті шешу үшін оптимизациялау әдісінің қолданылуын көрсету болып табылады.

Зерттеу пәні – шектеулі – айырымдық кері есепті шешу үшін пайданылатын мақсатты функционалдың жалғыз стационарлық нүктесі болуы туралы теорема.

Зерттеу объектісі – гиперболалық теңдеу үшін қойылған шектеулі-айырымдық кері есеп.

Зерттеудің әдістері. Дисертациялық зерттеу барысында дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер теориясының әдістері, кері және корректілі емес есептер теориясының әдістері және есептеу математикасының әдістері қолданылды.

Зерттеу жұмысының ғылыми жаңалығы. Диссертацияда гиперболалық теңдеу үшін қойылған шектеулі-айырымдық кері есеп зерттелді. Зерттеу барысында:


  • үздіксіз функциялар класында кері есептің бірмәнді шешілуінің қажетті және жеткілікті шарттары көрсетілді;

  • шектеулі-айырымдық кері есептің шешімінің жинақталу жылдамдығы анықталды;

  • шектеулі-айырымдық кері есептің шешімінің орнықтылығы туралы теорема дәлелденді;

  • шектеулі-айырымдық тура есептің шешімінің арнайы құрылымы туралы теорема дәлелденді;

  • кері есепті оптимизациялау әдісімен шешу үшін құрылған мақсатты функционалдың қасиеттері көрсетілді.

Қорғауға шығарылған негізгі тұжырымдамалар:

  • кері есептің бірмәнді шешілуінің қажетті және жеткілікті шарттары туралы теоремалар;

  • шектеулі-айырымдық кері есептің шешімінің жинақталу жылдамдығы және орнықтылығы туралы теоремалар;

  • оптимизациялау әдісіндегі мақсатты функционалдың жалғыз стационарлық нүктесі болуы туралы теорема.

Диссертациялық жұмыс нәтижелерінің сынамасы. Зерттеудің негізгі мазмұны мен нәтижелері Қазақстан республикасы Тәуелсіздігінің 20жылдығына арналған «Шоқан тағылымы- 15» халықаралық ғылыми – практикалық конференциясында (Көкшетау, 2011ж), «Қазақстан қоғамының даму тенденциялары: әлеуметтік – саяси, инновациялық аспектілері» атты республикалық ғылыми – тәжірибелік конференциясында (Қызылорда, 2011ж) және «Математика және математиканы оқыту әдістемесі» кафедрасының ғылыми - әдістемелік семинарында баяндалды.

Зерттеу жұмысының тәжірибелік маңыздылығы. Диссертациялық жұмыстың нәтижелері акустиканың, электродинамиканың және геофизиканың әртүрлі кері есептерін шешуде қолданылуы мүмкін.

Сонымен қатар, жұмыс нәтижелерін оқу процесінде «Кері есептерді шешудің сандық әдістері» пәнін оқытуда пайдалануға болады.

Зерттеу нәтижелерінің жарияланымы. Диссертация тақырыбы бойынша екі ғылыми жұмыс жарияланған.

Диссертациялық жұмыстың құрылымы мен көлемі. Диссертациялық жұмыс кіріспеден, негізгі мазмұндағы үш бөлімнен, қорытынды мен пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.



Негізгі бөлім


Жұмыстың алғашқы бөлімінде гиперболалық теңдеулер үшін көп өлшемді кері есептердің әртүрлі қойылымдары көрсетіледі. Осы бөлімнің бірінші бөлімшесінде гиперболалық теңдеу үшін үлестірілген бастапқы берілгендері бар есеп қарастырылады. Екінші бөлімшесінде гиперболалық теңдеу үшін қайнар көзі шоғырланған есеп зерттеледі. Ал бөлімнің үшінші бөлімшесінде кері есепті шешудің жалпы схемасы көрсетіледі.

Жұмыстың екінші бөлімінде көп өлшемді шектеулі – айырымдық кері есептің шешімінің жинақтылығы зерттеледі. Осы бөлімнің алғашқы бөлімшесінде кері есептің қойылымы келтірілді. Екінші бөлімшеде кері есептің шектеулі – айырымдық шешімінің қасиеттері зерттеледі. Ал бөлімнің соңғы бөлімшесінде шектеулі – айырымдық кері есептің жуық шешімінің жинақтылығы туралы теорема дәлелденді.

Жұмыстың үшінші бөлімінің бірінші бөлімшесінде келесі шектеулі – айырымдық кері есепті шешудің оптимизациялау әдісі қарастырылады:


(1)


(2)


(3)


қатыстарынан торлық функциясын анықтау керек. Мұндағы





және т.с.с., - белгілі оң сан , - кез келген натурал сан, - бүтін сандар жиыны.

(1)-(3) шектеулі –айырымдық қатынастарының келесі үздіксіз кері есепті аппроксимациялау реті екіге тең болады :


(4)


(5)


(6)


қатыстарынан үздіксіз функциясын анықтау керек . Мұндағы





Ал (4) – (6) кері есебі өз кезегінде келесі кері есептен шығады:


(7)


(8)


(9)


(10)


егер (7), (9), (10) қатынастарын бойынша екі рет дифференциалдасақ және келесі белгілеулерді енгізетін болсақ:





Егер (7) теңдеуі тек үшін орындалса , онда (9) шартын (7) теңдеуі үшін шекаралық шарт деп қарастыруға болады.Бұл жағдайда (7) –(9) аралас есебін үшін тура есеп деп қарастыруға болады .

Егер және функциялары жұп болса ,онда шешімнің жалғыздығы туралы теорема бойынша үшін (7), (8) Коши есебі мен (7) – (9) аралас есебінің шешімі бірдей болады. Сондықтан бұдан былай, қарастырылатын функциялары бойынша жұп, ал торлық функциялары і бүтін айнымалысы бойынша жұп деп есептейміз.


Үздіксіз қойылымда (4) – (6) кері есебі келесі


(11)


мақсатты функционалдың минимумын табу есебін оптимизациялау әдісі арқылы шешуге келтіріледі. Осы жұмыста егер (11) функционалының градиенті 0-ге тең болса, яғни болса, онда функциясы (4)–(6) кері есебінің шешімі болатындығы көрсетілді. Біз (1)–(6) кері есебінің шектеулі – айырымдық аналогын зерттейміз. Бұл жағдайдың ерекшелігі – (1) – (3) шектеулі – айырымдық кері есебінің шешімінің бар болуы туралы теорема орындалады, өйткені шектеулі – айырымдық қойылымда үшін кері есептің шешімі әр уақытта бар болады. Сондықтан 3.3.1 теоремасы дискретті кері есептің шешімінің бар болуының жеткілікті шарты болып есептеледі.

Үшінші бөлімнің екінші бөлімшесінде шектеулі – айырымдық тура есептің шешімінің арнайы құрылымы туралы теорема дәлелденеді. Бұл құрылымды алу үшін бізге келесі леммалар қажет болады.

Лемма 3.2.1. Айталық функциясы келесі шектеулі - айырымдық


(12)


(13)


тура есебінің шешімі болсын. Сонда келесі формула орындалады:


(14)

Мұндағы





Лемма 3.2.2 Барлық үшін келесі





формуласы орындалады.

Енді (14) теңдеулер жүйесін қарастырамыз. Оның шешімін


(15)




қатары түрінде іздейміз, мұндағы








Лемма 3.2.3 Айталық



болсын. Сонда кез-келген үшін (15) қатары облысында бойынша бірқалыпты жинақты болады.

Теорема 3.2.1. Кез келген натурал үшін шектеулі – айырымдық (12), (13) тура есебінің шешімін




облысында


(16)


түрінде жазуға болады, мұндағы


ал функциясы келесі








рекуренттік формулалары арқылы анықталады.

Үшінші бөлімнің үшінші бөлімшесінде шектеулі–айырымдық кері есепті шешу үшін құрылған мақсатты функционалдың қасиеттері зерттеледі.

Шектеулі – айырымдық (1) – (3) кері есебін


(17)


функционалын минимизациялау арқылы шешеміз.

(17) функционалын минимизациялауды градиенттер әдісі арқылы жүргізуге болады. Ол үшін функционалдың градиентінің өрнегін аламыз. торлық функциясына өсімшесін береміз. Сонда функциясы өсімшесін қабылдайды. Сонда


(18)


(19)

Ал (16) функционалының өсімшесін


(20)


түрінде жазуға болады. Енді (16) формуласын (18)-(19) есебіне қолдана отырып,





екендігін аламыз. Осыдан



Мұндағы













Лемма 3.3.1. Барлық үшін





формуласы орындалады. Мұндағы





Лемма 3.3.2 Барлық үшін








Лемма 3.3.3 Барлық үшін





формуласы орындалады .

Лемма 3.3.4. Айталық торлық функциялары j бойынша жұп болсын. Сонда барлық үшін


(21)

формуласы орындалады. Мұндағы






Біз үшін




екендігін байқаймыз.

Лемма 3.3.5. Айталық





болсын. Сонда (20) және (21) формулаларынан




екендігі шығады, мұндағы

(22)


(23)


(24)


Лемма 3.3.6. Айталық функциясы (18) – (19) есебінің шешімі болсын. Сонда келесі




бағалауы орындалады, мұндағы













Лемма 3.3.7. Мақсатты (17) функционалының градиенті




түрінде жазылады, мұндағы (22) – (23) формулалары арқылы анықталады.


Теорема 3.3.1. Егер мақсатты (17) функционалының градиенті 0-ге тең болса, яғни және болса, онда минимизацияланатын (17) функционалының жалғыз стационар нүктесі болады.


Қорытынды


Бұл диссертациялық жұмыс гиперболалық теңдеу үшін қойылған көп өлшемді шектеулі – айырымдық кері есепті зерттеуге арналған. Диссертациялық жұмыста:


  • гиперболалық теңдеулер үшін көп өлшемді кері есептердің әртүрлі қойылымдары келтірілді;

  • үлестірілген бастапқы берілгендері бар кері есептің қойылымы көрсетілді;

  • қайнар көзі шоғырланған кері есептің Вольтерраның интегралды теңдеулер жүйесіне келтірілуі көрсетілді;

  • үздіксіз функциялар класында кері есептің бірмәнді шешілуінің қажетті және жеткілікті шарттары туралы теорема дәлелденді;

  • гиперболалық теңдеу үшін қойылған көп өлшемді кері есептің сызықтандырылған жағдайы қарастырылды;

  • Даламбер формуласының шектеулі – айырымдық аналогы алынды;

  • шектеулі – айырымдық кері есептің шешімінің үздіксіз кері есептің дәл шешіміне жинақталу жылдамдығы көрсетілді;

  • көп өлшемді шектеулі – айырымдық кері есептің шешімінің орнықтылығы туралы теорема дәлелденді;

  • шектеулі –айырымдық тура есептің шешімінің арнайы құрылымы туралы теорема дәлелденді;

  • шектеулі – айырымдық кері есепті оптимизациялау әдісімен шешу үшін құрылған мақсатты функционалдың қасиеттері көрсетілді.



Диссертация тақырыбы бойынша жарияланған мақалалар тізімі:

1. Баканов Г.Б., Жоламанова Р.М., Нуртазина С.Ж.Оптимизационный метод решения одной конечно – разностной обратной задачи // Материалы международной научно – практической конференции «Валихановские чтения – 15», посвященной 20-летию Независимости Республики Казахстан, Кокшетау, 2011. – с.102 – 104.


2. Баканов Г.Б., Жоламанова Р.М., Нуртазина С.Ж. Об одном методе решения конечно – разностной обратной задачи // «Қазақстан қоғамының даму тенденциялары: әлеуметтік – саяси, инновациялық аспектілері» атты республикалық ғылыми – тәжірибелік конференция материалдары, Қызылорда, 2011. – 493 – 497б.

НУРТАЗИНА САЛТАНАТ ЖУМАЕВНА


Оптимизационный метод решения многомерной конечно – разностной обратной задачи


РЕЗЮМЕ


на автореферат магистерской диссертации по специальности 6М060100 – математика


Объект исследования. Конечно – разностная обратная задача для уравнения гиперболического типа.


Цель диссертационной работы. Исследование конечно – разностного аналога оптимизационного метода решения обратной задачи для гиперболического уравнения.


Методы исследования. В работе применены методы теории обратных и некорректных задач, конечно – разностные методы решения задач математической физики.


В диссертационной работе:


  • получено специальное представление для решения конечно – разностной прямой задачи;

  • изучены свойства целевого функционала для конечно – разностной обратной задачи;

  • доказана теорема единственности стационарной точки целевого функционала.


Область применения. Полученные результаты могут быть применены в решении обратных задач геофизики, сейсмики и акустики.


Значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер. Теорема единственности стационарной точки целевого функционала конечно – разностной обратной задачи для гиперболического уравнения имеет принципиальное значение для обоснования и получения оценки скорости сходимости разностного аналога метода наискорейшего спуска.


NURTAZINA SALTANAT ZHUMAEVNA

An optimization method for solving multi-dimensional finite - difference inverse problem



SUMMARY


on the summary of the master's thesis on specialty 6M060100 – Mathematics


The object of research. Finite - difference inverse problem for differential equations of hyperbolic type.


The aim of the thesis. Investigation a finite - difference analogue of the optimization method for solving the inverse problem for a hyperbolic equation.


Methods of research. In the thesis applied the methods of the theory of inverse and ill-posed problems, finite - difference methods for solving the problems of mathematical physics.


Results of work consist in the following:
• received a special representation for solving finite - difference direct problem;
• investigated the properties of the cost function for the finite - difference inverse problem;
• the uniqueness theorem for the stationary point of the cost function is proved.


Applications of the work. The results can be applied to the solution of inverse problems of geophysics, seismology and acoustics.


The importance of the work. Results of work including both theoretical. A uniqueness theorem for a stationary point of the cost function for the finite - difference inverse problem for a hyperbolic equation is of fundamental importance for the study and obtain estimates of the rate of convergence of the difference analog of the steepest descent method.