shkolakz.ru 1
II. Новый материал.


в) cos x=; г) cos x= (решают по окружности)

Видим, что уравнение имеет решения (две серии корней)

x=x1+2k,

x=x2+2k, k

где x1- длина дуги AM,

x2= - x1

Вводим в рассмотрение новый символ arccos и с помощью этого символа корни x1 и x2 записываем так x1= arccos, x2= - arccos, и, наконец, все корни уравнения cos x= запишутся так:

обобщим эти корни и запишем так

Символ arccos включает в себя три части:

arc – дуга, на которую опирается соответствующий центральный угол,

cos – напоминание об исходной функции,

– число.

Определение: Арккосинусом числа a () есть угол из промежутка , косинус которого равен a. cos x=a.


Подчеркнем, что для любого числа a такого, что

1) существует, и при том единственный арккосинус этого числа

2) арккосинус этого числа не существует, например arccos2 и arccos() не имеет смысла, так как 2>1 и

Из определения следует, что

1*cos(arcos a)=a

1**arcos(cos)=, если и

Примеры.


  1. arccos 0=

  2. arccos 1=0

  3. arccos

  4. cos =

  5. cos=
  6. sin=sin


  7. sin=?

У доски с пояснениями

Решение:

1 способ. Обозначим arccos, тогда по определению и угол первой четверти. Применим основное тригонометрическое тождество



2 способ

пусть , тогда прилежащий к нему катет – 2, а гипотенуза – 5. По теореме Пифагора найдем второй катет



8)

1 способ. Пусть

2 способ





9)

10), чтобы решить этот пример рассмотрим теорему:

Для любого числа a такого, что справедливо равенство


Пусть , тогда

но , следовательно,

, где и ,

тогда по определению арккосинуса , но значит

, что и требовалось доказать.

Вернемся к примеру 10)

Делаем общий вывод для решения уравнения