shkolakz.ru 1

Глава 7. Спектральный анализ



7.1. Краткий обзор главы


  • Модальный анализ, как известно, используется для вычисления собственных частот и форм колебаний системы. Спектральный анализ представляет собой еще одно приложение модального метода, которое позволяет найти отклик системы на возбуждение, содержащее множество различных частот (сейсмическое возбуждение).

  • В этой Главе рассматривается понятие спектра отклика и процедуры, используемые для проведения однофакторного спектрального отклика.

  • В следующей Главе обсуждается другая форма спектрального анализа - метод спектральной плотности “мощности” (PSD).

Рассмотренный ранее анализ переходных процессов связан с получением результатов решения динамических задач как функций времени. Спектральный анализ дает результаты, которые в большей степени зависят от частоты, а не от времени. Такие задачи требуют, как правило, меньше компьютерного времени, чем динамические расчеты в заданном интервале времени.

Командой SPOPT могут быть заданы четыре типа спектрального анализа:

  • однофакторный спектральный анализ(SPRS);

  • многофакторный спектральный анализ (MPRS);

  • расчетно-экспериментальный метод динамического анализа (DDAM);

  • метод спектральной плотности мощности (PSD).

Однофакторный спектральный анализ предполагает использование одной и той же спектральной кривой для всех возбуждаемых точек (рис.1).


Рис.1



Многофакторный спектральный анализ предполагает задание в точках возбуждения различных спектральных кривых (рис.2).


Рис.2

Расчетно-экспериментальный метод динамического анализа используется для оценки ударопрочности корабельного оборудования. Метод состоит в получении отклика системы на спектр, который получен на основе эмпирических уравнений и таблиц расчета на удар, представленных в отчете NRL-1369 Лаборатории Научных Исследований военно-морских сил США.


Метод спектральной плотности мощности представляет собой вероятностный подход к нахождению спектрального отклика и известен как анализ случайных колебаний.

В этой главе рассматривается только однофакторный анализ. Метод спектральной плотности обсуждается в Главе 8. Другие виды анализа в данном пособии не рассматриваются (см. руководство Процедуры).


7.2. Спектральный отклик

Спектр отклика системы представляет собой график максимума отклика линейной одномассовой системы на заданное воздействие. По оси абсцисс откладываются собственные частоты, по оси ординат - максимальный отклик. Последний может представлять собой перемещения, скорости или ускорения. В этом случае спектр отклика соответственно называется спектром перемещения, скорости или ускорения. Спектр внутреннего усилия рассматривается ниже.

Рассмотрим вибростол, на поверхности которого закреплены четыре одномассовые системы (рис.3). Каждая система имеет свою собственную частоту fi. Предполагается, что f1 < f2 < f3 < f4 (в соответствии с размерами прямоугольников на рисунке, отображающими массы). Считается, что демпфирование колебаний незначительно.



Рис.3

Предположим, что вибростол испытывает действие гармонической силы с частотой f1.



Рис.4

Это вызовет колебания всех четырех осцилляторов, но пика отклика достигнет колебательная система 1. График отклика перемещений в зависимости от частоты показан на рис.5.


Рис.5

Если дополнить первую возмущающую силу другой, имеющей частоту f3, то своего пика отклика достигнут осцилляторы 1 и 3, получится спектр отклика, представленный на рис. 6. Следует обратить внимание на то, что осцилляторы 2 и 4 реагируют на возбуждение слабее по сравнению с осцилляторами 1 и 3. Отклик этих осцилляторов будет максимальным только в том случае, если частота возбуждения равна их собственным частотам.



Рис.6

Если же приложить нагрузку более общего вида и увеличить число осцилляторов, то дискретные максимумы исчезнут и получится сглаженный спектр отклика (рис.7).



Рис.7

В зависимости от частот колебаний, составляющих импульс, некоторые точки спектра отклика будут иметь более выраженный максимум по сравнению с другими, если значения частоты в этих точках содержатся в импульсе нагружения. В любом случае, такая кривая представляет собой максимальный отклик для каждой частоты колебания на определенный импульс.

На практике сглаженная, непрерывная кривая задается в кусочно-линейном виде, как показано на рис. 8.


Рис.8

Таким образом, используя одномассовые осцилляторы, можно получить отклик системы на заданное нагружение, “выявив” таким способом частоты, содержащиеся в нагрузке, зависящей от времени, например, в импульсе землетрясения или в подобного типа воздействиях.

Рассмотрим колебательную систему более общего вида, скажем, здание. Модальный анализ позволяет получить ее собственные частоты. Чтобы получить отклик системы на заданное нагружение, нет необходимости использовать кривую зависимости нагрузки от времени в динамическом анализе переходных процессов. Вместо этого частотный отклик системы (ее индивидуальные формы колебаний) можно соотнести с отдельными частотами внешней нагрузки на основе спектра отклика (полученного с помощью отдельных осцилляторов). Таким образом, амплитудное значение спектра отклика, соответствующее определенной частоте сооружения, используется для расчета коэффициента увеличения, на который умножаются амплитуды соответствующей формы колебаний. В этом случае формы колебаний (собственные векторы) будут представлять фактические перемещения, а общий отклик сооружения может быть получен объединением, или комбинированием, отдельных форм колебаний.


Главное преимущество такого подхода состоит в экономии компьютерного времени. С помощью спектра отклика удается как бы переместится из временной области в частотную. Анализ зависимостей, зависящих от времени, может потребовать особенно больших затрат компьютерных ресурсов при использовании реальных нагрузок, отягощенных погрешностями, таких, например, как внешние нагрузки при землетрясении. Более того, только для задания такой кривой нагружения потребуется большое количество шагов.

Спектральный анализ, с другой стороны, сводится только к рассмотрению, какие формы колебаний использовать и каким образом их комбинировать. Следует, однако, обратить внимание на то, что в программе ANSYS спектральный анализ применим только к линейным системам.

При выполнении спектрального анализа пользователь сталкивается со следующими понятиями:


  • коэффициент вклада;

  • модальный коэффициент;

  • объединение форм колебаний.

Рассмотрим эти понятия и затем покажем, как выполнить анализ на основе спектра отклика.


7.2.1. Коэффициент вклада

Под коэффициентом вклада подразумевается мера реакции системы при данной собственной частоте. Другими словами, этот коэффициент определяет вклад каждой формы колебаний в смещения (и, следовательно, в напряжения) для заданного направления действия возмущающей силы.

Рассмотрим обычную консольную балку, показанную на рис.9. Балка предполагается короткой, так что первые две формы колебаний являются изгибными, а третья относится к продольным колебаниям.



Рис.9

Если возбуждение задается в направлении оси Y, то форма 1 будет иметь самый высокий коэффициент вклада, поскольку это первая собственная частота балки. Для моды 2 коэффициент намного меньше, а для моды 3 он равен нулю.


При действии возмущения в направлении оси X, коэффициент вклада равен нулю для мод 1 и 2 и отличен от нуля для моды 3.

Коэффициент вклада определяется следующим образом:

i = {i}T [M] {D} - для опции расчета на сейсмическое воздействие;

i = {i}T {F} - для опции силового спектра.

Здесь

i ‑ коэффициент вклада с номером i;

{} - нормированный собственный вектор;

[M] - матрица масс;

{D} - определяемый пользователем вектор направления

   возмущающих факторов;

{F} - определяемый пользователем вектор силы.

Следует обратить внимание, что коэффициент вклада для сейсмической спектральной опции не зависит от спектральной величины отклика.


7.2.2. Модальный коэффициент

При обсуждении спектра отклика упоминался “коэффициент увеличения”, на который умножаются компоненты собственного вектора для получения фактических перемещений для каждой формы колебаний. Этот коэффициент увеличения называется модальным коэффициентом. Если Ai является модальным коэффициентом для моды с номером i, то вектор перемещения для этой формы колебаний

{ui} = Ai {i}.

Эта операция фактически выполняется в постпроцессоре POST1 с помощью команд, записанных в файле с расширением .MCOM.

Значение модального коэффициента Ai зависит от спектра отклика для i-ой моды и коэффициента вклада i. Коэффициент Ai для различных типов спектров отклика вычисляется по разному.

Спектр перемещения: Ai = Sui i,

Sui - значение спектра перемещения для i-ой моды.

Спектр скорости: Ai = Svi i / i,

Svi - значение спектра скорости для i-ой моды;


i - собственная круговая частота.

Спектр ускорения: Ai= Sai i / i2,

Sai - значение спектра ускорения для i-ой моды.

Спектр силы: Ai= Sfi i / i2,

Sfi - значение спектра силы для i-ой моды.


7.2.3. Объединение форм колебаний

При выполнении спектрального анализа для каждой расширенной формы колебаний вычисляются максимальные перемещения и напряжения. Таким образом, для каждой формы в отдельности известен отклик системы. Однако для получения общего отклика требуется найти нужную комбинацию модальных откликов, а для этого нужно знать фазы этих мод.

Едва ли все отдельные модальные максимумы имеют один и тот же знак и действуют одновременно. Простое суммирование откликов представляет собой весьма консервативное решение, т.е., другими словами, является расчетом с чрезмерным запасом. Обычно используются другие, более практичные методы комбинирования форм колебаний.

В программе ANSYS доступны шесть различных комбинаторных методов:


  • метод полного квадратичного объединения (CQC);

  • метод группирования (GRP);

  • метод двойной суммы (DSUM);

  • метод квадратного корня из суммы квадратов (SRSS);

  • метод суммирования (DDAM) Лаборатории (NRL) военно-морских сил США, обычно используемый для метода спектрального анализа - команда SPOPT, DDAM;

  • метод спектральной плотности энергии (только для метода SPOPT, PSD).

В основном метод, который нужно использовать для объединения форм колебаний, предусмотрен проектными спецификациями соответствующих промышленных или государственных стандартов.

Обобщенное соотношение для всех комбинаторных методов имеет вид

Ra= (Rij Ri Rj )1/2,


где

Ra - суммарный модальный отклик;

N - число форм колебаний;

Rij - множитель, равный k.ij,Mi,Mj (k=1 при i = j;

k=2 при i j);

ij - коэффициент связи (зависит от комбинаторного метода);

Mi, Mj           - спектральный множитель для i-ой и j-ой форм колебаний;

Ri , Rj - максимум отклика для i-ой и j-ой форм.

Спектральный множитель определяется следующим соотношением:

Mi = Si’ / Si,

где

Si’ - спектральное значение для i-ой частоты, вычисленное при

  эффективном коэффициенте демпфирования ‘ (см. ниже);

Si - спектральное значение для i-ой частоты, вычисленное при

  самом слабом демпфировании.

Если известна только одна спектральная кривая (с учетом или без учета демпфирования), спектральный множитель Mi = 1.0.

Различие между шестью комбинаторными методами заключается в выражениях, используемых для вычисления коэффициентов связи ij (см. руководство Теория).


7.2.4. Демпфирование

Опция спектра отклика допускает использование до четырех различных спектральных кривых, соответствующих разным значениям коэффициента демпфирования (рис.10).




Рис.10

Следовательно, для данной частоты могут быть получены до четырех различных спектральных значений. Какое значение выбрать для вычислений, зависит от величины коэффициента эффективного демпфирования.

Коэффициент эффективного демпфирования ‘ вычисляется для каждой формы колебаний следующим образом:


NMAT NMAT

i = + .i/2 + mEm / Em + i,

m=1 m=1

где

- коэффициент постоянного демпфирования (команда DMPRAT);

- множитель конструкционного демпфирования (команда BETAD);

m - множитель демпфирования, зависящего от свойств материала

(команда MP, DAMP);

Em - энергия деформаций в материале с номером m,

равная ({ui}T [Km] {ui})/2;

[Km] - часть матрицы жесткости, относящаяся к материалу с номером m;

i - модальный коэффициент демпфирования (команда MDAMP).

Если отсутствует спектральная кривая, соответствующая значению ‘, то используется процедура логарифмической интерполяции. Это делается на стадии комбинирования форм колебаний (для вычисления множителя Mij) только при выполнении следующих условий:


  • присутствует более одного материала;

  • задано демпфирование, зависящее от материала, (МР, DAMP);

  • задано более одной спектральной кривой.


7.3. Процедура однофакторного анализа

Процедура получения спектра отклика при однофакторном анализе состоит из пяти основных этапов:

  • построение модели;

  • получение модального решения;

  • расширение решения модального анализа;

  • получение спектра отклика;

  • просмотр результатов.


7.3.1. Построение модели

Этот этап выполняется так же, как и во всех других видах анализа. Однако следует иметь в виду следующее.
  1. Система обладает только линейным поведением. Следовательно, игнорируются любые нелинейные эффекты. Для элементов с переменным статусом сохраняется начальное состояние.


2. Должны быть заданы как жесткость (например, EX), так и масса (например, DENS).


7.3.2. Получение модального решения

Процедура подробно описана в Главе 2. Однако необходимо обратить внимание на следующее.

  • Следует использовать только команды MODOPT, REDUC или MODOPT, SUBSP. Другие два метода модального анализа (MODOPT, UNSYM и MODOPT, DAMP) не дают возможности получить спектр отклика.

  • Нужно определить достаточное количество форм колебаний, чтобы можно было найти спектр отклика в заданном диапазоне частот.

  • Если спектральный анализ предполагает демпфирование, зависящее от свойств материала, (MP, DAMP), то это должно быть указано на этом этапе расчета.

  • Нужно быть уверенным, что все ограничения степеней свободы относятся к тем узлам, где предполагается прикладывать кинематическое возбуждение системы.

  • Следует избегать использования вращательных степеней свободы в качестве ведущих. Если используется команда TOTAL, параметр NRMDF устанавливается равным единице.


7.3.3. Расширение решения

Независимо от выбранного метода модального анализа (MODOPT, REDUC или MODOPT, SUBSP), полученное решение в виде частот и форм колебаний должно быть “расширено” (EXPASS, ON). (Считайте “расширением” просто запись информации о формах колебаний в файл результатов). Этот этап аналогичен соответствующему этапу модального анализа, но следует заметить:

  • для получения спектра отклика можно использовать только расширенные моды;

  • если по завершении спектрального анализа желательно иметь напряжения, то их следует запросить сначала на этой стадии (командой MXPAND).


7.3.4. Получение спектра отклика

Этот этап спектрального анализа состоит в выполнении перечисленных ниже процедур.


1. Ввод режима SOLUTION командой /SOLU.

2. Выбор опции получения спектра командой ANTYPE, SPECTRUM.

3. Выбор типа спектра и числа “расширенных” мод:

SPOPT, Sptype, NMODE

Sptype - однофакторный метод анализа (метод SPRS);

NMODE - использование первых NMODE мод из модального анализа. По умолчанию используются все моды.

4. Задание параметров спектра отклика, что требует определения следующих данных:


  • тип спектра (только в случае использования однофакторного метода);

  • направление спектральных величин (перемещений, скоростей и т.д.) в глобальных декартовых координатах;

  • таблицу спектральных величин в зависимости от частоты.

После ввода SPOPT, SPRS (в соответствии с п.3) для выбора типа спектра используется команда

SVTYP, KSV, FACT

KSV = 0 - спектр скорости;

1 - спектр силы;

2 - спектр ускорения;

3 - спектр перемещения.

FACT- коэффициент масштабирования, применяемый к значениям спектра (по умолчанию равен 1.0).

Для спектра силы (KSV = 1) направление возбуждения определяется параметром Lab в команде

F, NODE. Lab, FORCE

NODE - номер узла, к которому приложена сила;

Lab - метка возмущающей силы: FX, FY или FZ;

FORCE - значение силы.

Спектр силы может быть получен только для ведущих степеней свободы.

Команды SV и FREQ совместно определяют таблицу зависимости спектральной величины от частоты. Для спектров перемещения, скорости и ускорения спектральная величина интерпретируется как соответствующее значение. Для спектра силы спектральная величина интерпретируется как множитель амплитуды, амплитуда задается командой F.

FREQ, FREQ1, FREQ2, . . . ., FREQ9


FREQ1, FREQ2, . . . . , FREQ9 - значения частоты для таблицы зависимости спектральной величины от частоты (задаются в порядке возрастания). Если все значения равны нулю, уничтожаются существующие таблицы.

SV, DAMP, SV1, SV2,...SV9

DAMP - коэффициент демпфирования для данной кривой;

SV1, SV2, . . . , SV9 - спектральные величины для частот, заданных командой FREQ.

Могут быть определены до четырех различных кривых зависимости спектральной величины от частоты, для каждой кривой можно задать до 20 точек.

5. Задание метода объединения форм колебаний.

Как уже упоминалось, общий отклик системы можно получить объединении некоторым способом отдельных откликов. Доступны шесть предопределенных методов комбинирования. Нужный метод выбирается с помощью команды

MCOMB, TYPE, SIGNIF

TYPE CQC - метод полного квадратичного объединения;

GRP - метод группирования;

DSUM - метод двойной суммы,

SRSS - метод квадратного корня из суммы квадратов;

DDAM - метод суммирования Лаборатории военно-морских сил США;

PSD - метод спектральной плотности мощности.

SIGNIF - объединяются только те моды, значения которых превышают порог SIGNIF (по умолчанию принимается равным 0.0001).

6. Задание демпфирования. Доступны следующие формы такого задания:

BETAD, DMPRAT, MDAMP и MP, DAMP.

7. Начало решения командой SOLVE. Файл результатов (Jobname.RST) создан не будет, но команды постпроцессора POST1, используемые для объединения форм колебаний, будут записаны в файл Jobname.MCOM (если используется команда MCOMB).

8. Выход из режима SOLUTION и просмотр результатов в постпроцессоре POST1.

Первый шаг в постпроцессоре POST1 состоит в считывании результатов объединения мод с помощью команды /INPUT, ,MCOM.


Затем можно делать просмотр результатов обычным образом, используя команды PLDISP, PLNSOL, PLESOL и т.д.


7.3.5. Диаграмма потока данных


7.3.6. Пример

Требуется получить отклик на заданный спектр ускорения системы, показанной на рис. 11, в направлении осей Y и Z.




/BATCH, LIST

/SHOW, resp-l, grph

/DELETE, file, mcom


! ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ

/PREP7

/TITLE, пример расчета спектра отклика resp-1

ЕТ, 1, BEAM4 ! Элемент трехмерной балки

R, 1, 2, 0.66666, 0.16666, 1, 2 Площадь, моменты инерции и высоты первого и второго поперечного сечений

MP, EX, 1, 28E6 ! Свойства материала

MP, DENS, 1, . 0007

N, 1 ! Узлы

N, 10, 10

FILL

E, 1, 2 ! Элементы

EGEN, 9, 1, -1

FINI


! ПОЛУЧЕНИЕ МОДАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ И ЕГО РАСШИРЕНИЕ

/SOLU

ANTYPE, MODAL

MODOPT, SUBS, 15

MXPAND, 10, , , YES

D, 1, ALL, 0

SOLVE

FINI


! ПОЛУЧЕНИЕ СПЕКТРА

/SOLU

ANTYPE, SPECTRUM

SPOPT, SPRS, 10 ! Выбор однофакторного анализа

! с использованием 10-ти мод

SVTYP, 2 ! Спектр ускорения

FREQ, 100, 600, 2500, 3000 ! Задание частот

SV, , 150.2, 217, 217, 79.5 ! Задание спектральных величин

SED, 0, 1, 0 ! Приложение возбуждения в направлении оси Y

MCOMB, SRSS ! Запись результатов объединения мод методом

! квадратного корня

SOLVE

SED, 0, 0, 1 ! Возбуждение в направлении оси Z

MCOMB, SRSS ! Метод квадратного корня

SOLVE

FINI

! ПРОСМОТР РЕЗУЛЬТАТОВ


/POST1

SET, LIST ! Содержимое файла результатов

/INPUT, , mcom ! Выполнение объединения форм колебаний

/WINDOW, 1, TOP

/WINDOW, 2, BOT

/VIEW, 1, 0, 0, 1 ! Вид спереди

/VIEW, 2, 0, 1, 0 ! Вид сверху

PLDI, 1 ! Вывод графика перемещений

FINI





________________________________________________________________________


Response Cpectrum Analysis